Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)
>>
Заочный тур
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
Доказать, что любой несамопересекающийся пятиугольник лежит по одну сторону от хотя бы одной своей стороны.
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как
Периметр выпуклого четырехугольника равен 4.
Докажите, что его площадь не превосходит 1.
Дан многочлен x(x + 1)(x + 2)(x + 3). Найти его наименьшее значение.
Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков
2×2 (режут по линиям).
Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.
Натуральное число A при делении на 1981 дало в остатке 35, при делении на 1982 оно дало в остатке также 35. Каков остаток от деления числа A на 14?
Найдите все натуральные числа, не представимые в виде разности квадратов каких-либо натуральных чисел.
На продолжениях сторон CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.
Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, причем
AB + BD AC + CD. Докажите, что AB < AC.
В неравнобедренном треугольнике ABC проведены высота из вершины A и биссектрисы из двух других вершин.
Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектрисы, проведённой из вершины A.
На хоккейном поле лежат три шайбы А, В и С.
Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими.
Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?
Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что
существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.
Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.
Через точку P, лежащую вне окружности, проводятся всевозможные прямые, пересекающие эту окружность. Найти множество середин хорд, отсекаемых окружностью на этих прямых.
Дописать к 523... три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB до пересечения с другой стороной в некоторой точке C'. Аналогично построены точки A' и B'. Для каких исходных треугольников треугольник A'B'C' будет равносторонним?
В треугольнике ABC со сторонами AB = 4, AC = 6 проведена биссектриса угла A. На эту биссектрису опущен перпендикуляр BH.
Найдите MH, где M – середина BC.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?
В треугольнике ABC ∠A = 60°. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C1. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B1. Докажите, что прямая B1C1 касается вписанной окружности треугольника ABC.
Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников?
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]
Задача 65027 (#1) |
|
|
Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников?
|
|
Решение |
Задача 65028 (#2) |
|
|
В треугольнике ABC со сторонами AB = 4, AC = 6 проведена биссектриса угла A. На эту биссектрису опущен перпендикуляр BH.
Найдите MH, где M – середина BC.
|
|
|
Решение |
Задача 65029 (#3) |
|
В треугольнике ABC ∠A = 60°. Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C1. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B1. Докажите, что прямая B1C1 касается вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 65030 (#4) |
|
|
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?
|
|
|
Решение |
Задача 65031 (#5) |
|
В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB до пересечения с другой стороной в некоторой точке C'. Аналогично построены точки A' и B'. Для каких исходных треугольников треугольник A'B'C' будет равносторонним?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]
