Версия для печати
Убрать все задачи

---

Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что:
  a) хотя бы один орех будет съеден;
  б) все орехи не будут съедены.

   Решение

Страница: << 194 195 196 197 198 199 200 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65833

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На окружности расставлено несколько положительных чисел, каждое из которых не больше 1. Докажите, что можно разделить окружность на три дуги так, что суммы чисел на соседних дугах будут отличаться не больше чем на 1. (Если на дуге нет чисел, то сумма на ней считается равной нулю.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65839

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что:
  a) хотя бы один орех будет съеден;
  б) все орехи не будут съедены.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65849

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Существует ли такое натуральное n, что десятичная запись числа 2ⁿ начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5ⁿ начинается цифрой 2?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65850

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65851

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 194 195 196 197 198 199 200 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями