Версия для печати
Убрать все задачи

---

У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было. Петя стал покупать книги (каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью (монетами в 1 рубль). При покупке дорогой книги (не дешевле 100 рублей) Петя расплачивался только сторублёвками (минимальным необходимым их количеством), а при покупке дешёвой (дешевле 100 рублей) расплачивался мелочью, если хватало, а если не хватало – сторублёвкой. К моменту, когда сторублёвок не осталось, Петя потратил на книги ровно половину своих денег. Мог ли Петя потратить на книги хотя бы 5000 рублей?

   Решение

---

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

   Решение

---

Дан правильный 2n-угольник A₁A₁...A_2n с центром O, причём  n ≥ 5.  Диагонали A₂A_n–1 и A₃A_n пересекаются в точке F, а A₁A₃ и A₂A_2n–2 – в точке P.
Докажите, что  PF = PO.

   Решение

Страница: << 262 263 264 265 266 267 268 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65736

Темы:   [ Инварианты ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  f₁ и g₁, что  f + g = f₁ + g₁  или  fg = f₁g₁.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65827

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Найдите наибольшее натуральное число N, для которого уравнение  99x + 100y + 101z = N  имеет единственное решение в натуральных числах x, y, z.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65828

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

У Карлсона есть 1000 банок с вареньем. Банки не обязательно одинаковые, но в каждой не больше чем сотая часть всего варенья. На завтрак Карлсон может съесть поровну варенья из любых 100 банок. Докажите, что Карлсон может действовать так, чтобы за некоторое количество завтраков съесть всё варенье.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65855

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На биссектрисе AA₁ треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B₁, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C₁. Отрезки A₁B₁ и CC₁ пересекаются в точке P, а отрезки A₁C₁ и BB₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65875

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан правильный 2n-угольник A₁A₁...A_2n с центром O, причём  n ≥ 5.  Диагонали A₂A_n–1 и A₃A_n пересекаются в точке F, а A₁A₃ и A₂A_2n–2 – в точке P.
Докажите, что  PF = PO.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 262 263 264 265 266 267 268 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями