Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина >> XVIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2022 г.) >> Заочный тур
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Даны окружность S, точка P, расположенная вне S, и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l.

Вниз   Решение

Авторы: Фомин Д., Слейтор Д., Тарьян Р., Тёрстон У.

Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
  а)  P(n) ≥ n – 3;
  б)  P(n) ≤ 2n – 7;
  в)  P(n) ≤ 2n – 10  при  n ≥ 13.

ВверхВниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin2$ \alpha$ + sin2$ \beta$ + sin2$ \gamma$ = (p2 - r2 - 4rR)/2R2.
б)  4R2cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ = p2 - (2R + r)2.

ВверхВниз   Решение

Пусть ABCDEF — описанный шестиугольник. Докажите, что его диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке (Брианшон).

ВверхВниз   Решение

а) Даны прямая l и точка P вне ее. Циркулем и линейкой постройте на l отрезок XY данной длины, который виден из P под данным углом $ \alpha$.
б) Даны две прямые l1 и l2 и точки P и Q, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой l1 точку X и на прямой l2 точку Y так, что отрезок XY виден из точки P под данным углом $ \alpha$, а из точки Q — под данным углом $ \beta$.

ВверхВниз   Решение

Вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке D, а продолжений сторон AB и AC — в точках E и F. Пусть T — точка пересечения прямых BF и CE. Докажите, что точки A, D и T лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

Автор: Протасов В.Ю.

Найдите все положительные числа x1, x2, ..., x10, удовлетворяющие при всех  k = 1, 2,..., 10  условию   (x1 + ... + xk)(xk + ... + x10) = 1.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведения противоположных сторон равны. Точка $B'$ симметрична $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $A$, $B'$, $D$, касается прямой $AC$.

ВверхВниз   Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
$ {\frac{\cos^2(\alpha /2)}{a}}$ + $ {\frac{\cos^2(\beta /2)}{b}}$ + $ {\frac{\cos^2(\gamma /2)}{c}}$ = $ {\frac{p}{4Rr}}$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Москвитин Н.А.

В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что $BH$ – биссектриса угла $ABO$. Отрезок из точки $O$, параллельный стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH=AK$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Коганов И.

В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
  а) волшебник может это сделать;
  б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
  в) существует единственный путь, обходящий все города;
  г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.

ВверхВниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
ab cos$ \gamma$ + bc cos$ \alpha$ + ca cos$ \beta$ = (a2 + b2 + c2)/2.

ВверхВниз   Решение

Точки A, B, C и D лежат на окружности, SA и SD — касательные к этой окружности, P и Q — точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD соответственно. Докажите, что точки P, Q и S лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фролов И.И.

На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $AP=PR$, $CQ=QR$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PQR$, точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH \parallel AC$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

  с решениями  

Задача 67101

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Плотников М., Хилько Д., Кожевников П.А.

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение

Задача 67093

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фролов И.И.

На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $AP=PR$, $CQ=QR$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PQR$, точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH \parallel AC$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 67100

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Михайлов И.

Прямая $\ell$, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках $D$ и $E$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $AI^2 = AD\cdot AE$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 67103

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведения противоположных сторон равны. Точка $B'$ симметрична $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $A$, $B'$, $D$, касается прямой $AC$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 67086

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Москвитин Н.А.

В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что $BH$ – биссектриса угла $ABO$. Отрезок из точки $O$, параллельный стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH=AK$.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .