Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Прямые l₁ и l₂ параллельны. Докажите, что S_l1oS_l2 = T_2a, где  T_a — параллельный перенос, переводящий l₁ в l₂, причем a l₁.
б) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке O. Докажите, что S_l2oS_l1 = R²_O, где  R_O — поворот, переводящий l₁ в l₂.

   Решение

---

Та же задача, только заранее не известно, существует ли общий элемент в трёх неубывающих массивах и требуется это выяснить (и найти один из общих элементов, если они есть).

   Решение

---

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

   Решение

---

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 470]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78759  (#М34)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Метод спуска ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Доказать, что если натуральное число k делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78758  (#М35)

Темы:   [ Площадь сферы и ее частей ] [ Описанные многогранники ]

Сложность: 6- Классы: 10,11

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73571  (#М36)

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73572  (#М37)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Метод спуска ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
  а) Докажите существование такого числа $c$, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше $c$; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
  б) Докажите, что можно взять $c = 4$.
  в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для  $c = 3$.
  г) Постройте пример, показывающий, что при  $c < 3$ утверждение неверно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55522  (#М38)

Темы:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Окружность, построенная на высоте AD прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает катет AB в точке K, а катет AC — в точке M. Отрезок KM пересекает высоту AD в точке L. Известно, что отрезки AK, AL и AM составляют геометрическую прогрессию (т.е. = ). Найдите острые углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 470]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями