ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Годы:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров? Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна никакому числу рассматриваемой последовательности. Назовём натуральное число n удобным, если n² + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных. В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности составляет 2/7 высоты, а периметр этого треугольника равен 56. Найдите его стороны. Докажите, что ни одно из чисел вида 103n+1 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел. Доказать, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... нет точных квадратов. В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CC1 и AA1. Известно, что AC = 1 и ∠C1CA1 = α. В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы. |
Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 1957]
При каких целых n число 20n + 16n – 3n – 1 делится на 323?
В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.
В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.
Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна никакому числу рассматриваемой последовательности.
Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых a1, a2, ..., a12 так, чтобы произведение a1!a2!...a12! было минимально.
Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 1957]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке