Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1957 год
>>
8 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.
В квадрате со стороной 1 проведено конечное число отрезков,
параллельных его сторонам, причем эти отрезки могут пересекать
друг друга. Сумма длин отрезков равна 18. Докажите, что площадь
одной из частей, на которые разбит квадрат, не меньше 0,01.
Натуральные числа p и q взаимно просты. Отрезок [0, 1] разбит на p + q одинаковых отрезков.
Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних лежит ровно одно из p + q – 2 чисел 1/p, 2/p, ..., p–1/p, 1/q, 2/q, ..., q–1/q.
Докажите, что следующие свойства выпуклого многоугольника F
эквивалентны: 1) F имеет центр симметрии;
2) F можно разрезать на параллелограммы.
Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых можно составить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой (части переворачивать нельзя).
Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан
на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по
крайней мере два прямоугольника, причем сумма площадей
всех прямоугольников равна 2.
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно
разрезать на неравные треугольники, подобные исходному.
б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на
неравные правильные треугольники.
Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б)
на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?
Докажите, что если в наборе целых чисел a1, ..., an хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.
По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.
Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае – 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.
Доказать, что 11551958 + 341958 ≠ n², где n – целое.
Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что
Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.
В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78115 (#1) |
|
|
В треугольнике известны две стороны a и b. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?
|
|
Решение |
Задача 78116 (#2) |
|
|
Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 108 равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 109.
|
|
Решение |
Задача 78117 (#3) |
|
|
Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что
|
|
|
Решение |
Задача 78118 (#4) |
|
|
Найти все действительные решения системы уравнений
|
|
|
Решение |
Задача 78119 (#5) |
|
|
В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
