Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 1957]

Задача 78238

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Доказать, что если n чётно, то числа 1, 2, 3, ..., n² можно таким образом расположить в квадратную таблицу n×n, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78266

Темы:	[	Деревья	]
Темы:	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

n точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.
Доказать, что общее число отрезков равно n – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78273

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Дана прямая l, перпендикулярная отрезку AB и пересекающая его. Для любой точки M прямой l строится такая точка N, что $\angle$ NAB = 2 $\angle$ MAB; $\angle$ NBA = 2 $\angle$ MBA. Доказать, что абсолютная величина разности AN - BN не зависит от выбора точки M на прямой l.

Прислать комментарий Решение

Задача 78276

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если S(a) = S(2a), то число a делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78277

Тема:

[

Теория алгоритмов (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 1957]