Версия для печати
Убрать все задачи

---

Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
  а)  h = 17 см;
  б)  h = 18 см?

   Решение

---

Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их рёбра параллельны рёбрам коробки)?

   Решение

Страница: << 209 210 211 212 213 214 215 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67295

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существует ли целое $n>1$, удовлетворяющее неравенству $$[\sqrt{n-2} + 2\sqrt{n+2}] < [\sqrt{9n+6}]?$$ (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67461

Темы:   [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$ лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67492

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Клетчатую доску $20\times 20$ разбили на двухклеточные доминошки. Докажите, что некоторая прямая содержит центры хотя бы десяти из этих доминошек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67623

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Многочлены (прочее) ] [ Функции. Непрерывность (прочее) ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Надя загадала многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта:

• достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
• достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.

Максим хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t| < 10^{-100}$. Докажите, что Максим может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Максим сам решает, когда ему перестать задавать вопросы.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86115

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их рёбра параллельны рёбрам коробки)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 209 210 211 212 213 214 215 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями