Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вписанная окружность касается сторон $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $N, K$ и $M$ соответственно. Прямые $MN$ и $MK$ пересекают биссектрису внешнего угла $B$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что прямые $RK$ и $SN$ пересекаются на вписанной окружности треугольника $ABC$.

   Решение

---

В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каких k это возможно?

   Решение

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98069

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Преобразования плоскости (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Числовая последовательность {x_n} такова, что для каждого  n > 1  выполняется условие:  x_n+1 = |x_n| – x_n–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98073

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Наибольшая или наименьшая длина ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами их часовых стрелок равно m, а максимальное – M. Найдите расстояние между центрами этих часов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98089

Темы:   [ Степень вершины ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каких k это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98093

Темы:   [ Инварианты ] [ Обыкновенные дроби ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., ¹/₁₀₀. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число
a + b + ab.  Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98110

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан выпуклый восьмиугольник ABCDEFGH, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – AB = CD = EF = GH,
BC = DE = FG = HA  (будем называть такой восьмиугольник полуправильным). Проводим диагонали AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB и HC. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный восьмиугольник – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями