Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 345 346 347 348 349 350 351 >> [Всего задач: 1854]

Задача 98310

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Задачи на проценты и отношения	]
	[	Системы точек	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Константинов Н.Н.

В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число R (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше R от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число r (радиус) и т. д., причём R и r не обязательно совпадают. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зачисление в полицию и одновременно не менее 90% населения освобождены от армии? (Каждый человек проживает в определенной точке плоскости.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 98330

Темы:	[	Итерации	]
	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Богатый С., Смуров М.В.

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции y = f(x), для которой f(f(x)) = x² – 1996 при всех x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98353

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Пушкарь П.Е., Дольников В.Л.

Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98355

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Авторы: Сендеров В.А., Вялый М.Н.

Пусть 1 + x + x² + ... + x^n–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + x^k–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98374

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 345 346 347 348 349 350 351 >> [Всего задач: 1854]