Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 220 221 222 223 224 225 226 >> [Всего задач: 1956]

Задача 57655 (#12.072)

Тема:

[

Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 9

Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что S_ABC/S_A₁B₁C₁ = 2r/R, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57656 (#12.073)

Тема:

[

Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 9

Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника ABC равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57657 (#12.074)

Тема:

[

Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть A₄ — ортоцентр треугольника A₁A₂A₃. Докажите, что существуют такие числа $\lambda_{1}^{}$ ,..., $\lambda_{4}^{}$ , что A_iA_j² = $\lambda_{i}^{}$ + $\lambda_{j}^{}$ , причем, если треугольник не прямоугольный, то $\sum$ (1/ $\lambda_{i}^{}$ ) = 0.

Прислать комментарий Решение

Задача 57658 (#12.075B-)

Тема:

[

Метод координат на плоскости

]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Докажите, что расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой ax + by + c = 0 равно ${\frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57659 (#12.075B-1)

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (0, 0), (x₁, y₁) и (x₂, y₂) равна ${\frac{1}{2}}$ | x₁y₂ – x₂y₁|.
б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃) равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ | x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁ – x₂y₁ – x₁y₃ – x₃y₂|.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 220 221 222 223 224 225 226 >> [Всего задач: 1956]