Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 359 360 361 362 363 364 365 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58401 (#29.032B-)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дан не равносторонний треугольник ABC. Точки A₁, B₁ и C₁ выбраны так, что треугольники BA₁C, CB₁A и AC₁B собственно подобны. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом 120^o при вершинах A₁, B₁ и C₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 58402 (#29.031)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах аффинно правильного многоугольника A₁A₂...A_n с центром O внешним образом построены квадраты A_{j + 1}A_jB_jC_{j + 1} (j = 1,..., n). Докажите, что отрезки B_jC_j и OA_j перпендикулярны, а их отношение равно 2 $\bigl($ 1 - cos(2 $\pi$ /n) $\bigr)$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 58403 (#29.032)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

На сторонах выпуклого n-угольника внешним образом построены правильные n-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n-угольник тогда и только тогда, когда исходный n-угольник аффинно правильный.

Прислать комментарий Решение

Задача 58404 (#29.032.1)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc $\bar{z}$ $\bar{w}$ = a + b + c (Морли).

Прислать комментарий Решение

Задача 58405 (#29.033)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z^* и W^*. Докажите, что середина отрезка Z^*W^* лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 359 360 361 362 363 364 365 >> [Всего задач: 1956]