Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 374 375 376 377 378 379 380 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58476 (#31.009)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что эллиптическое зеркало обладает тем свойством, что пучок лучей света, исходящий из одного фокуса, сходится в другом.

Прислать комментарий Решение

Задача 58477 (#31.010)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

а) Докажите, что для любого параллелограмма существует эллипс, касающийся сторон параллелограмма в их серединах.
б) Докажите, что для любого треугольника существует эллипс, касающийся сторон треугольника в их серединах.

Прислать комментарий Решение

Задача 58478 (#31.011)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Докажите, что:
а) площадь треугольника AOB не зависит от выбора сопряженных диаметров;
б) величина OA²+OB² не зависит от выбора сопряженных диаметров.

Прислать комментарий Решение

Задача 58479 (#31.012)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

а) Докажите, что проекции фокусов эллипса на все касательные лежат на одной окружности.
б) Пусть d₁ и d₂ — расстояния от фокусов эллипса до касательной. Докажите, что величина d₁d₂ не зависит от выбора касательной.

Прислать комментарий Решение

Задача 58480 (#31.013)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Из точки O проведены касательные OA и OB к эллипсу с фокусами F₁ и F₂. Докажите, что $\angle$ AOF₁ = $\angle$ BOF₂ и $\angle$ AF₁O = $\angle$ BF₁O.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 374 375 376 377 378 379 380 >> [Всего задач: 1956]