Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 377 378 379 380 381 382 383 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58491 (#31.024)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

а) Из точки O проведены касательные OP и OQ к эллипсу с фокусами F₁ и F₂. Докажите, что

$\displaystyle \angle$ POQ = $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \angle$ PF₁O + $\displaystyle \angle$ PF₂O).

б) Отрезок AB виден из фокусов F₁ и F₂ под углами $\varphi_{1}^{}$ и $\varphi_{2}^{}$ , соответственно. Докажите, что $\varphi_{1}^{}$ + $\varphi_{2}^{}$ = α + β (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58492 (#31.025)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

К эллипсу с центром O проведены две параллельные касательные l₁ и l₂. Окружность с центром O₁ касается (внешним образом) эллипса и прямых l₁ и l₂. Докажите, что длина отрезка OO₁ равна сумме полуосей эллипса.

Прислать комментарий Решение

Задача 58493 (#31.026)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Окружность радиуса r с центром C, лежащим на большей полуоси эллипса, касается эллипса в двух точках; O — центр эллипса, a и b — его полуоси. Докажите, что

OC² = $\displaystyle {\frac{(a^2-b^2)(b^2-r^2)}{b^2}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 58494 (#31.027)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Три окружности, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса r₂ касается (внешним образом) окружностей радиуса r₁ и r₃. Докажите, что

r₁ + r₃ = $\displaystyle {\frac{2a^2(a^2-2b^2)}{a^4}}$ r₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58495 (#31.028)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

N окружностей, центры которых лежат на большой оси эллипса, касаются эллипса. При этом окружность радиуса r_i (2 $\leqslant$ i $\leqslant$ N - 1) касается окружностей радиуса r_{i - 1} и r_{i + 1}. Докажите, что если 3n - 2 > N, то

r_{2n - 1}(r₁ + r_{2n - 1}) = r_n(r_n + r_{3n - 2}).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 377 378 379 380 381 382 383 >> [Всего задач: 1956]