Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 386 387 388 389 390 391 392 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58541 (#31.074)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что две несовпадающие коники имеют не более четырех общих точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58542 (#31.075)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 58543 (#31.076)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Докажите, что в трилинейных координатах описанная коника (т.е. коника, проходящая через все вершины треугольника) задаётся уравнением вида

pxy + qxz + rzy = 0.

б) Докажите, что в трилинейных координатах коника, касающаяся всех сторон треугольника или их продолжений, задаётся уравнением вида

px² + qy² + rz² = 2(± $\displaystyle \sqrt{pq}$ xy± $\displaystyle \sqrt{pr}$ xz± $\displaystyle \sqrt{qr}$ yz).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58544 (#31.077)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Коника задаётся в барицентрических координатах уравнением

p $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \beta$ + q $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \gamma$ + r $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \gamma$ = 0.

Докажите, что её центр имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \bigl($ r(p + q - r) : q(p + r - q) : p(r + q - p) $\displaystyle \bigr)$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 58545 (#31.078)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 386 387 388 389 390 391 392 >> [Всего задач: 1956]