Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 384 385 386 387 388 389 390 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58526 (#31.059)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите следующие свойства коники Г из задачи 31.058:
а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары данных точек.
б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D.
в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то Г — окружность девяти точек этого треугольника.
д) Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г — гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех коник пучка параллельны асимптотам Г.

Прислать комментарий Решение

Задача 58527 (#31.060)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть коники $\Gamma$ и $\Gamma_{1}^{}$ касаются в точках A и B, a коники $\Gamma$ и $\Gamma_{2}^{}$ касаются в точках C и D, причем $\Gamma_{1}^{}$ и $\Gamma_{2}^{}$ имеют четыре общие точки. Тогда у коник $\Gamma_{1}^{}$ и $\Gamma_{2}^{}$ есть пара общих хорд, проходящих через точку пересечения прямых AB и CD.

Прислать комментарий Решение

Задача 58528 (#31.061)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть a и b — фиксированные комплексные числа. Докажите, что при изменении φ от 0 до 2π точки вида aeⁱ + be^-i заметают эллипс или отрезок.

Прислать комментарий Решение

Задача 58529 (#31.062)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть a, b, c, d — фиксированные числа. Докажите, что когда угол $\varphi$ пробегает все возможные значения, точки с координатами

x = a cos $\displaystyle \varphi$ + b sin $\displaystyle \varphi$ , y = c cos $\displaystyle \varphi$ + d sin $\displaystyle \varphi$

заметают эллипс или отрезок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58530 (#31.063)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Вершины A и B треугольника ABC скользят по сторонам прямого угла. Докажите, что если угол C не прямой, то вершина C перемещается при этом по эллипсу.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 384 385 386 387 388 389 390 >> [Всего задач: 1956]