Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 382 383 384 385 386 387 388 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58516 (#31.049)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

а) Докажите, что отношение расстояний от точки гиперболы до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e > 1, — гипербола.

Прислать комментарий Решение

Задача 58517 (#31.050)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Найти множество точек пересечения всех пар перпендикулярных касательных к гиперболе.

Прислать комментарий Решение

Задача 58518 (#31.051)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

f = $\displaystyle \lambda$ l_ABl_CD + $\displaystyle \mu$ l_BCl_AD,

где $\lambda$ и $\mu$ — некоторые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58519 (#31.052)

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Алгебраические кривые	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).

Прислать комментарий Решение

Задача 58520 (#31.053)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 382 383 384 385 386 387 388 >> [Всего задач: 1956]