Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 162 163 164 165 166 167 168 >> [Всего задач: 1956]

Задача 57332 (#09.027)

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

Прислать комментарий Решение

Задача 57333 (#09.028)

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

Внутри треугольника ABC периметра P взята точка O. Докажите, что P/2 < AO + BO + CO < P.

Прислать комментарий Решение

Задача 57334 (#09.029)

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

На основании AD трапеции ABCD нашлась точка E, обладающая тем свойством, что периметры треугольников ABE, BCE и CDE равны. Докажите, что тогда BC = AD/2.

Прислать комментарий Решение

Задача 57335 (#09.030)

Тема:

[

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон

]

Сложность: 2
Классы: 9

Дан треугольник площади 1 со сторонами a $\leq$ b $\leq$ c. Докажите, что b $\geq$ $\sqrt{2}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57336 (#09.031)

Тема:

[

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон

]

Сложность: 3
Классы: 9

Пусть E, F, G и H — середины сторон AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD. Докажите, что S_ABCD $\leq$ EG^.HF $\le$ (AB + CD)(AD + BC)/4.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 162 163 164 165 166 167 168 >> [Всего задач: 1956]