Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 164 165 166 167 168 169 170 >> [Всего задач: 1956]

Задача 57342 (#09.037)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3
Классы: 9

Площади треугольников ABC, A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ равны S, S₁, S₂ соответственно, причем AB = A₁B₁ + A₂B₂, AC = A₁C₁ + A₂C₂, BC = B₁C₁ + B₂C₂. Докажите, что S $\leq$ 4 $\sqrt{S_1S_2}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57343 (#09.038)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

ABCD — выпуклый четырехугольник площади S. Угол между прямыми AB и CD равен a, угол между AD и BC равен $\beta$ . Докажите, что

AB^.CD sin $\displaystyle \alpha$ + AD^.BC sin $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \leq$ 2S $\displaystyle \leq$ AB^.CD + AD^.BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57344 (#09.039)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис. Докажите, что a/ $\alpha$ + b/ $\beta$ + c/ $\gamma$ $\geq$ 3/2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57345 (#09.040)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны S и S₁, причем треугольник ABC не тупоугольный. Наибольшее из отношений a₁/a, b₁/b и c₁/c равно k. Докажите, что S₁ $\leq$ k²S.

Прислать комментарий Решение

Задача 57346 (#09.041)

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 4
Классы: 9

а) Точки B, C и D делят (меньшую) дугу AE окружности на четыре равные части. Докажите, что S_ACE < 8S_BCD.
б) Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности. Через середину D (меньшей) дуги BC проведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N. Докажите, что S_BCD < 2S_MAN.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 164 165 166 167 168 169 170 >> [Всего задач: 1956]