Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 173 174 175 176 177 178 179 >> [Всего задач: 1956]

Задача 57387 (#09.081)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника периметра P можно составить два отрезка, длины которых отличаются не более чем на P/3.

Прислать комментарий Решение

Задача 57388 (#09.081B)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Докажите, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 57389 (#09.082)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри выпуклого многоугольника A₁...A_n взята точка O. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине A_k, x_k = OA_k, d_k — расстояние от точки O до прямой A_kA_{k + 1}. Докажите, что $\sum$ x_ksin( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ $\sum$ d_k и $\sum$ x_kcos( $\alpha_{k}^{}$ /2) $\geq$ p, где p — полупериметр многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 57390 (#09.083)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Правильный 2n-угольник M₁ со стороной a лежит внутри правильного 2n-угольника M₂ со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M₁ содержит центр многоугольника M₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 57391 (#09.084)

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри правильного многоугольника A₁...A_n взята точка O. Докажите, что по крайней мере один из углов A_iOA_j удовлетворяет неравенствам $\pi$ (1 - 1/n) $\leq$ $\angle$ A_iOA_j $\leq$ $\pi$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 173 174 175 176 177 178 179 >> [Всего задач: 1956]