Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 470]

Задача 73774 (#М239)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Итерации	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Теорема Эйлера	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Чернов Н.

На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C₁ = C, C₂, C₃, ..., где C_n+1 – центр описанной окружности треугольника ABC_n. При каком положении точки C
а) точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
б) точка C_n совпадает с C?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73775 (#М240)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Двоичная система счисления	]
	[	Показательные неравенства	]
	[	Логарифмические неравенства	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Белага Э.Г.

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

Прислать комментарий Решение

Задача 73776 (#М241)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Мейзус С.И.

Сумма 3¹⁹⁷⁴ + 5¹⁹⁷⁴ делится на 13. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73778 (#М243)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

n отрезков A₁ B₁ , A₂ B₂ , ... , A_n B_n (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A₁ , A₂ , ... , A_n . Докажите, что

++...+=n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73779 (#М244)

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны два набора из n вещественных чисел: a₁, a₂, ..., a_n и b₁, b₂, ..., b_n. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из a_i < a_j следует, что b_i ≤ b_j;
б) из a_i < a < a_j, где a = ¹/_n (a₁ + a₂ + ... + a_n), следует, что b_i ≤ b_j,
то верно неравенство n(a₁ b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n) ≥ (a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 470]