Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 1957]

Задача 79246

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Итерации	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей K = p₁p₂...p_n; затем вычисляется сумма p₁ + p₂ + ... + p_n + 1. С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79259

Темы:	[	Степень вершины	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10

На бесконечной шахматной доске проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная, проходящая по сторонам клеток. Внутри ломаной оказалось k чёрных клеток. Какую наибольшую площадь может иметь фигура, ограниченная этой ломаной?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79260

Темы:	[	Квадратные уравнения. Формула корней	]
	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Рекуррентные соотношения	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Дано число A = , где M – натуральное число большее 2.
Доказать, что найдётся такое натуральное k, что A = .

Прислать комментарий

Решение

Задача 79263

Темы:	[	Квадратные уравнения. Формула корней	]
	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Рекуррентные соотношения	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дано число A = , где n и m – натуральные числа, не меньшие 2.
Доказать, что существует такое натуральное k, что A = .

Прислать комментарий

Решение

Задача 79270

Темы:	[	Поворот (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Две одинаковые шестерёнки имеют по 32 зубца. Их совместили и спилили одновременно 6 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 219 220 221 222 223 224 225 >> [Всего задач: 1957]