Страница: << 386 387 388 389 390 391 392 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 77899

Тема:   [ Разрезания (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78166

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Принцип крайнего ] [ Подсчет двумя способами ] [ Теория множеств (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше   .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78595

Темы:   [ Взвешивания ] [ Сочетания и размещения ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Теория алгоритмов ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.

б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,
а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78673

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Задачи на движение ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9

Ковбой Джимми поспорил с друзьями, что сумеет одним выстрелом пробить все четыре лопасти вертилятора. (Вертилятор устроен следующим образом: на оси, вращающейся со скоростью 50 об/сек, расположены на равных расстояниях друг от друга четыре полудиска, повернутые друг относительно друга под какими-то углами). Джимми может стрелять в любой момент и добиваться произвольной скорости пуль. Доказать, что Джимми выиграет пари.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79370

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  a_n ≤ n¹⁰  при любом n?

б) Тот же вопрос, если  a_n ≤ n  при любом n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 386 387 388 389 390 391 392 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями