Страница: << 388 389 390 391 392 393 394 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105067

Темы:   [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.
Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105118

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Параллельный перенос ] [ Движение помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105220

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Системы алгебраических неравенств ] [ Средние величины ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по n коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., n  у. е. соответственно. Требуется купить такие k из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее ^k/_n массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
  а) Какие коробки следует купить при  n = 10  и  k = 3 ?
  б) Тот же вопрос для произвольных натуральных  n ≥ k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107826

Темы:   [ Взвешивания ] [ Индукция (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5+ Классы: 7,8,9

Банкир узнал, что среди одинаковых на вид монет одна — фальшивая (более легкая). Он попросил эксперта определить эту монету с помощью чашечных весов без гирь, причем потребовал, чтобы каждая монета участвовала во взвешиваниях не более двух раз. Какое наибольшее число монет может быть у банкира, чтобы эксперт заведомо смог выделить фальшивую за n взвешиваний?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107841

Темы:   [ Инварианты ] [ Производная в точке ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

  На доске написаны три функции:  f₁(x) = x + ¹/_x,   f₂(x) = x²,   f₃(x) = (x – 1)².  Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию ¹/_x.
  Докажите, что если стереть с доски любую из функций  f₁,  f₂,  f₃, то получить ¹/_x невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 388 389 390 391 392 393 394 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями