Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 390 391 392 393 394 395 396 >> [Всего задач: 2003]

Задача 76550

Темы:	[	Наглядная геометрия в пространстве	]
	[	Правильные многогранники	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

k проволочных треугольников расположены в пространстве так, что: 1) каждые 2 из них имеют ровно одну общую вершину, 2) в каждой вершине сходится одно и то же число p треугольников. Найдите все значения k и p, при которых указанное расположение возможно.

Прислать комментарий Решение

Задача 77898

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите, что числа вида 2ⁿ при различных целых положительных n могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Прислать комментарий Решение

Задача 78059

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник A₀B₀C₀. На его сторонах A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀ взяты точки C₁, A₁, B₁ соответственно. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂, и вообще, на сторонах A_nB_n, B_nC_n, C_nA_n, треугольника A_nB_nC_n взяты точки C_{n + 1}, A_{n + 1}, B_{n + 1}. Известно, что

$\displaystyle {\frac{A_0B_1}{B_1C_0}}$ = $\displaystyle {\frac{B_0C_1}{C_1A_0}}$ = $\displaystyle {\frac{C_0A_1}{A_1B_0}}$ = k, $\displaystyle {\frac{A_1B_2}{B_2C_1}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1C_2}{C_2A_1}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1A_2}{A_2B_1}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k^2}}$

и вообще,

Доказать, что треугольник ABC, образованный пересечением прямых A₀A₁, B₀B₁, C₀C₁, содержится в треугольнике A_nB_nC_n при любом n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78583

Темы:	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Связность. Связные множества	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Дан многоугольник на плоскости, невыпуклый и несамопересекающийся. Д – множество точек, принадлежащих тем диагоналям многоугольника, которые не вылезают за его пределы (то есть лежат либо целиком внутри, либо частью внутри, частью на контуре). Концы этих диагоналей тоже включаются в Д. Докажите, что любые две точки из Д можно соединить ломаной, целиком принадлежащей Д.

Прислать комментарий Решение

Задача 78821

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	ГМТ с ненулевой площадью	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бернштейн И.Д.

Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого m-угольника, где m≤n.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 390 391 392 393 394 395 396 >> [Всего задач: 2003]