Страница: << 391 392 393 394 395 396 397 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79308

Темы:   [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Полуинварианты ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырёхугольников?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79371

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

На химической конференции присутствовало k учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: "Кем является такой-то: химиком или алхимиком?" (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за 2k − 3 вопросов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79564

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Многогранные углы ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109488

Темы:   [ Точка Микеля ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательная окружность ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Точки A' , B' и C' "– середины сторон BC , CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH "– его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M , отличную от H , то ABM= CBB' .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111921

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Стороны BC и AC треугольника ABC касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках A₁ , B₁ . Пусть A₂ , B₂ — ортоцентры треугольников CAA₁ и CBB₁ . Докажите, что прямая A₂B₂ перпендикулярна биссектрисе угла C .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 391 392 393 394 395 396 397 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями