Страница: << 389 390 391 392 393 394 395 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107844

Темы:   [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательные проекции ] [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Параллельный перенос (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107861

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Поворот (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

На пол положили правильный треугольник ABC, выпиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола. Первый гвоздь делит сторону AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A, второй делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B. В каком отношении делит сторону AC третий гвоздь?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107862

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Обратный ход ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Правило произведения ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115509

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Перестройки ] [ Доказательство от противного ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

На плоскости отметили 4n точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно 1 см. Оказалось, что среди любых  n + 1  точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее 7n отрезков.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116695

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Сочетания и размещения ] [ Принцип Дирихле ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5+ Классы: 10

Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества  {1, 2, 3, ..., 2^k},  а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 389 390 391 392 393 394 395 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями