Страница: << 392 393 394 395 396 397 398 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79272

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Итерации ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Лемма о вложенных отрезках ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79367

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

На химической конференции присутствовало k учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а) 4k вопросов; б) 2k - 2 вопросов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107769

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Параллельный перенос ] [ Выпуклые тела ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]

Сложность: 6- Классы: 10,11

Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых A, параллельными переносами, переводящими A в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108000

Темы:   [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Правильный тетраэдр ] [ Пространственные многоугольники ] [ Движение помогает решить задачу ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Медиана пирамиды (тетраэдра) ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 6- Классы: 10,11

Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром a. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111350

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Метод координат на плоскости ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A ). Вначале лиса сидит в точке C , а зайцы – в точках B и D . Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v , а зайцы – по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 392 393 394 395 396 397 398 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями