Страница: << 385 386 387 388 389 390 391 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116236

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Перебор случаев ] [ Пирамида (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани – свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что каждые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше 1 см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116248

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ – середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
  а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
  б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116677

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

В клетках таблицы m×n расставлены числа. Оказалось, что в каждой клетке записано количество соседних с ней по стороне клеток, в которых стоит единица. При этом не все числа – нули. При каких числах m и n, больших 100, такое возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116694

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5 Классы: 10

Дан остроугольный треугольник ABC. Для произвольной прямой l обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, а через I_l – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек I_l.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116701

Темы:   [ Покрытия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Ряды с неотрицательными членами ]

Сложность: 5 Классы: 11

Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа S найдутся прямоугольники суммарной площади больше S.
  а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
  б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 385 386 387 388 389 390 391 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями