Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана треугольная пирамида $SABC$, основание которой – равносторонний треугольник $ABC$, а все плоские углы при вершине $S$ равны $\alpha$. При каком наименьшем $\alpha$ можно утверждать, что эта пирамида правильная?

   Решение

---

В наборе несколько гирь, все веса которых различны. Известно, что если положить любую пару гирь на левую чашу, можно весы уравновесить, положив на правую чашу одну или несколько гирь из остальных. Найдите наименьшее возможное число гирь в наборе.

   Решение

Страница: << 288 289 290 291 292 293 294 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67643

Темы:   [ Биссектриса угла ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ с углом $B$, равным $45^\circ$, выбрали соответственно точки $Q$ и $P$ так, что угол $BAP$ в три раза меньше угла $A$, а угол $BCQ$ в три раза меньше угла $C$. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AP$ и $CQ$. Описанные окружности треугольников $BPM$ и $BQM$ повторно пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Докажите, что из отрезков $AN$, $AC$ и $CK$ можно сложить треугольник, и найдите наибольший угол этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67645

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

а) Существует ли отличный от параллелограмма выпуклый четырёхугольник, который можно разрезать на любое количество равных выпуклых четырёхугольников от 2 до 100?

б) Существует ли выпуклый четырёхугольник, не имеющий ни центра, ни оси симметрии, который можно разрезать как на 2, так и на 47 равных выпуклых четырёхугольников?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67646

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Оценка + пример ] [ Раскраски ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

В каждой клетке одной из главных диагоналей доски $90\times90$ стоит конь. За какое наименьшее число ходов кони могут занять все клетки другой главной диагонали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67651

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Существует ли выпуклый пятиугольник со свойством: для каждой точки на его границе найдётся квадрат, вписанный в пятиугольник, и такой, что выбранная точка является одной из вершин квадрата? (Квадрат считается вписанным, если все его вершины лежат на границе пятиугольника.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67652

Темы:   [ Теория графов ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Степень вершины ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На клетчатой доске $2n\times 2n$ расставлены $2n$ ладей ($n$ — натуральное число). Докажите, что можно выбрать либо $n$ горизонталей, либо $n$ вертикалей и снять все ладьи с выбранных $n$ рядов так, что оставшиеся ладьи не будут бить друг друга.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 288 289 290 291 292 293 294 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями