Версия для печати
Убрать все задачи

---

По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.
  a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?
  б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?

   Решение

---

Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.

   Решение

Страница: << 298 299 300 301 302 303 304 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98049

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Приближения чисел ] [ Метод координат на плоскости ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Сколько существует таких пар натуральных чисел  (m, n),  каждое из которых не превышает 1000, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98053

Темы:   [ Правильные многогранники (прочее) ] [ Остовы многогранных фигур ] [ Связность и разложение на связные компоненты ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Какое минимальное количество точек на поверхности
   а) додекаэдра,
   б) икосаэдра
надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98078

Темы:   [ Системы точек ] [ Соображения непрерывности ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98100

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Отношение порядка ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98107

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 100?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 298 299 300 301 302 303 304 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями