Версия для печати
Убрать все задачи

---

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

   Решение

Страница: << 113 114 115 116 117 118 119 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67055

Темы:   [ Логика и теория множеств (прочее) ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Мудрецам $A, B, C, D$ сообщили, что числа 1, 2, ..., 12 написаны по одному на 12 карточках и что эти карточки будут розданы им по три, причём каждый увидит лишь свои карточки. После раздачи мудрецы по очереди сказали следующее.
  $A$: "На одной из моих карточек – число 8".
  $B$: "Все числа на моих карточках простые".
  $C$: "А все числа на моих – составные, причём имеют общий простой делитель".
  $D$: "Тогда я знаю, какие карточки у каждого из вас".
Какие карточки у $A$, если все сказали правду?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67056

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В одной из клеток шахматной доски 10×10 стоит ладья. Переходя каждым ходом в соседнюю по стороне клетку, она обошла все клетки доски, побывав в каждой ровно по одному разу. Докажите, что для каждой главной диагонали доски верно следующее утверждение: в маршруте ладьи есть два последовательных хода, первым из которых она ушла с этой диагонали, а следующим – вернулась на неё. (Главная диагональ ведёт из угла доски в противоположный угол.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67062

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один – медленно, другой – быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки бежали с одной и той же постоянной скоростью). Каждая собака добежала до другого хозяина и возвратилась к своему. Чья собака вернулась раньше – быстрого хозяина или медленного?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67064

Темы:   [ Теорема Виета ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67066

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Прямоугольник 1×3 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску 20×21 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя платит Васе столько рублей, сколько триминошек в этих двух разбиениях совпали (оказались на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выигрыша может гарантировать себе Вася независимо от действий Пети?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 113 114 115 116 117 118 119 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями