ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 66677  (#9.4)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Поворотная гомотетия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Mudgal A.

Дана окружность $\omega$ и ее хорда $BC$. Точка $A$ движется по большей из дуг $BC$. Пусть $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$, $D$, $E$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$, что $H$ – середина отрезка $DE$, $O_A$ – центр описанной окружности треугольника $ADE$. Докажите, что все точки $O_A$ лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66678  (#9.5)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. $BL$ и $CN$ – биссектрисы треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников $ABL$ и $CDN$, пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через середину дуги $AD$, не содержащей точку $B$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66679  (#9.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности треугольника $ABC$ и центр вневписанной окружности треугольника $CDA$, касающейся стороны $AC$ лежат на одной прямой.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66680  (#9.7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]
[ Преобразования плоскости (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

К описанной окружности треугольника $ABC$ проведены касательные в точках $B$ и $C$. Лучи $CC_1$, $BB_1$, где $B_1$ и $C_1$ – середины сторон $AC$ и $AB$, пересекают эти касательные в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle BAK=\angle CAL$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66681  (#9.8)

Темы:   [ Разрезания (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

Правильный $n$-угольник со стороной 1 вращается вокруг другого такого же $n$-угольника, как показано на рисунке. Последовательные положения одной из его вершин в моменты, когда $n$-угольники имеют общую сторону, образуют замкнутую ломаную $\kappa$.

Докажите, что $\kappa$ ограничивает площадь, равную $6A - 2B$, где $A$, $B$ – площади правильных $n$-угольников с единичными стороной и радиусом описанной окружности соответственно.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .