Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]

Задача 66789 (#21 [10-11 кл])

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	ГМТ (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Авторы: Сгибнев А.И., Заславский А.А.

Дан эллипс $\Gamma$ и его хорда $AB$. Найдите геометрическое место ортоцентров вписанных в $\Gamma$ треугольников $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66790 (#22 [10-11 кл])

Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

Прислать комментарий Решение

Задача 66791 (#23 [10-11 кл])

Тема:

[

Комбинаторная геометрия (прочее)

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Скопенков А.Б.

На плоскости даны две замкнутые ломаные $a,b$ (возможно, самопересекающиеся) и точки $K$, $L$, $M$, $N$. Вершины ломаных и эти точки находятся в общем положении (т.е. никакие три из них не лежат на прямой и никакие три отрезка, их соединяющие, не имеют общей внутренней точки). Каждый из отрезков $KL$ и $MN$ пересекает ломаную $a$ в четном количестве точек, а каждый из отрезков $LM$ и $NK$ – в нечетном. Ломаная $b$, наоборот, пересекает каждый из отрезков $KL$ и $MN$ в нечетном количестве точек, а каждый из отрезков $LM$ и $NK$ – в четном. Докажите, что ломаные $a$ и $b$ пересекаются.

Прислать комментарий Решение

Задача 66792 (#24 [11 кл])

Темы:	[	Куб	]
Темы:	[	Стереометрия (прочее)	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от $1$ до $8$ так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало $\frac{4}{5}$? А чтобы не превышало $\frac{13}{16}$?

Прислать комментарий Решение

Задача 66793 (#8.1)

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ вписана в окружность с центром $O$. Из точки $A$ к описанной окружности треугольника $CDO$ проведены касательные $AP$ и $AQ$. Докажите, что описанная окружность треугольника $APQ$ проходит через середину основания $AB$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]