Каталог по темам

Задачи

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 138]

Задача 111042

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда |PQ| = |QR|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67324

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Михайлов И.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и $\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66246

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC, P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110779

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 10

Автор: Заславский А.А.

Проекции точки X на стороны четырёхугольника ABCD лежат на одной окружности. Y – точка, симметричная X относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки B на прямые AX, XC, CY, YA также лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52419

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На сторонах AC и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ACA₁A₂ и BCB₁B₂.
Докажите, что прямые A₁B, A₂B₂ и AB₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 138]