Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.

Вниз   Решение


Даны положительные числа  a1, a2, ..., an.  Известно, что  a1 + a2 + ... + an ≤ ½.  Докажите, что  (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) < 2.

ВверхВниз   Решение


Автор: Сонкин М.

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°.

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

ВверхВниз   Решение


Паша записал на доске пример на сложение, после чего заменил некоторые цифры буквами, причём одинаковые цифры – одинаковыми буквами, а различные цифры – различными буквами. У него получилось:  КРОСС + 2011 = СТАРТ.  Докажите, что Паша ошибся.

ВверхВниз   Решение


Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

ВверхВниз   Решение


На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 487]      



Задача 108980

Темы:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Перебор случаев ]
[ Окружности (построения) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

В данную окружность вписать прямоугольник так, чтобы две данные точки внутри окружности лежали на сторонах прямоугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64976

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Восстановите равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC)  по точкам I, M, H пересечения биссектрис, медиан и высот соответственно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115948

Темы:   [ Концентрические окружности ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке O. Вершина A правильного треугольника ABC лежит на большей окружности, а середина стороны BC – на меньшей. Чему может быть равен угол BOC?

Прислать комментарий     Решение

Задача 103940

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Проективные преобразования прямой ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65812

Темы:   [ Cфера, вписанная в призму ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Касательные к сферам ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Точка Торричелли ]
[ Окружность Аполлония ]
[ Подерный (педальный) треугольник ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A0, B0, C0 соответственно. При этом
A0BB' = ∠B0CC' = ∠C0AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA0, BB0, CC0 пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 487]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .