Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax11 + bx4 + c = 0,  bx11 + cx4 + a = 0,  cx11 + ax4 + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Вниз   Решение


На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < 2n/3.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

ВверхВниз   Решение


На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

ВверхВниз   Решение


Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.

ВверхВниз   Решение


Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Tочки A1, B1 и C1 симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C2 – точка пересечения прямых AB1 и BA1, точки A2 и B2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны.

ВверхВниз   Решение


Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m , n и p . Найдите диагональ параллелепипеда.

ВверхВниз   Решение


Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.

ВверхВниз   Решение


Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого  P(x) + P(1 – x) ≡ 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 63]      



Задача 73609

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Замена переменных ]
[ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство  p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от  (xa/2)².

Прислать комментарий     Решение

Задача 77975

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что многочлен вида  x200y200 + 1  нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105110

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого  P(x) + P(1 – x) ≡ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61333

 [Метод Лобачевского]
Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61434

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени m существует единственный многочлен Q(x) степени  m + 1 , для которого  ΔQ(x) = P(x)  и  Q(0) = 0.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 63]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .