Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.
На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника, n > 3. Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
а) Докажите, что k < 2n/3.
б) Приведите пример конфигурации, для которой k > 0,666n.
Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.
На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?
Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.
Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.
Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.
Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m , n и p . Найдите диагональ параллелепипеда.
Дан треугольник ABC. Tочки A1, B1 и C1 симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C2 – точка пересечения прямых AB1 и BA1, точки A2 и B2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны.
Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.
Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]
Задача 73609 |
|
|
Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – a/2)².
|
|
Решение |
Задача 77975 |
|
|
Докажите, что многочлен вида x200y200 + 1 нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.
|
|
|
Решение |
Задача 105110 |
|
|
Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.
|
|
Решение |
Задача 61333[Метод Лобачевского] |
|
|
Пусть многочлен P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 имеет корни x1, x2, ..., xn, причем |x1| > |x2| > ... > |xn|. В задаче 60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов P0(x), P1(x), P2(x), ..., что P0(x) = P(x) и многочлен Pk(x) имеет корни
Пусть
Докажите, что
а)
б)
|
|
|
Решение |
Задача 61434 |
|
|
Докажите, что для любого многочлена P(x) степени m существует единственный многочлен Q(x) степени m + 1 , для которого ΔQ(x) = P(x) и Q(0) = 0.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 64]
