Дан параллелограмм ABCD с тупым углом A. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на BC. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке K. Докажите, что точки K, H, C и D лежат на одной окружности.

   Решение

На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат каждого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

   Решение

В треугольнике ABC, где  AB = BC = 6  и   AC = 2,  проведены медиана AA₁, высота BB₁ и биссектриса CC₁.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) BB₁, CC₁ и BC;   б) AA₁, BB₁ и CC₁.

   Решение

а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.

б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник  (n > 2),  его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.

   Решение

В городе Цветочном n площадей и m улиц  (m ≥ n + 1).  Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо Синей, либо Красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из неё улицы. Докажите, что можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.

   Решение

В треугольнике ABC, где  AB = BC = 6  и   AC = 2,  проведены биссектриса AA₁, высота BB₁ и высота CC₁.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) AB, AA₁ и BB₁;   б) AA₁, BB₁ и CC₁.

   Решение

Известно, что  0 < a, b, c, d < 1  и  abcd = (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d).  Докажите, что   (a + b + c + d) – (a + c)(b + d) ≥ 1.

   Решение

Дан равносторонний треугольник ABC. Найти множество всех таких точек D, что треугольники ABD и BCD - равнобедренные (отрезки AB и BC могут служить как основаниями, так и боковыми сторонами).

   Решение

Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 837 деталей, на 4 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 899 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

   Решение

Медиана AD и высота CE равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  пересекаются в точке P.
Найдите площадь треугольника ABC, если  CP = 5,  PE = 2.

   Решение

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

   Решение

Точка M лежит вне окружности с центром O. Прямая OM пересекает окружность в точках A и B, прямая, проходящая через точку M, касается окружности в точке C, точка H – проекция точки C на AB, а перпендикуляр к AB, восставленный в точке O, пересекает окружность в точке P. Известно, что  MA = a  и  MB = b.  Найдите MO, MC, MH, MP и расположите найденные значения по возрастанию.

   Решение

Найдите свободный член многочлена P(x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и  P(19) = P(94) = 1994.

   Решение

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 240 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 1 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 1 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

   Решение

В треугольнике ABC, таком, что  AB = BC = 4  и   AC = 2,  проведены биссектриса AA₁, медиана BB₁ и высота CC₁.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) AC, AA₁ и CC₁;   б) AA₁, BB₁ и CC₁.

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 152]      

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC, таком, что  AB = BC = 4  и   AC = 2,  проведены биссектриса AA₁, медиана BB₁ и высота CC₁.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) AC, AA₁ и CC₁;   б) AA₁, BB₁ и CC₁.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC, где  AB = BC = 6  и   AC = 2,  проведены медиана AA₁, высота BB₁ и биссектриса CC₁.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) BB₁, CC₁ и BC;   б) AA₁, BB₁ и CC₁.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC, где  AB = BC = 4  и   AC = 2,  проведены медиана AA₁, биссектриса BB₁ и высота CC₁.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) AB, AA₁ и BB₁;   б) AA₁, BB₁ и CC₁.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC, где  AB = BC = 6  и   AC = 2,  проведены биссектриса AA₁, высота BB₁ и высота CC₁.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) AB, AA₁ и BB₁;   б) AA₁, BB₁ и CC₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 152]