Дан треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и  ∠DEF = 90°.
Докажите, что  ∠ADE = ∠EDF.

   Решение

Все попарные расстояния между четырьмя точками в пространстве равны 1. Найдите расстояние от одной из этих точек до плоскости, определяемой тремя другими.

   Решение

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

   Решение

Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём  BM = MN.
Докажите, что  AM = CN.

   Решение

Могут ли все корни уравнений  x² – px + q = 0  и  x² – (p + 1)x + q = 0  оказаться целыми числами, если:
  а)  q > 0;
  б)  q < 0?

   Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 979]      

Представьте числовое выражение  2·2009² + 2·2010²  в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P(x) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P(2) и P(P(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

Прислать комментарий

Решение

Найдите значение выражения   .

Прислать комментарий

Решение

Могут ли все корни уравнений  x² – px + q = 0  и  x² – (p + 1)x + q = 0  оказаться целыми числами, если:
  а)  q > 0;
  б)  q < 0?

Прислать комментарий

Решение

Коэффициенты квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  удовлетворяют условию  2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 979]