Версия для печати
Убрать все задачи

---

Три прямоугольных треугольника расположены в одной полуплоскости относительно данной прямой l так, что один из катетов каждого треугольника лежит на этой прямой. Известно, что существует прямая, параллельная l, пересекающая треугольники по равным отрезкам. Докажите, что если расположить треугольники в одной полуплоскости относительно прямой l так, чтобы другие их катеты лежали на прямой l, то также найдётся прямая, параллельная l , пересекающая их по равным отрезкам.

   Решение

---

Три равных треугольника разрезали по разноимённым медианам (см. рис. 1). Можно ли из получившихся шести треугольников сложить один треугольник?

Рис. 1

   Решение

---

Существуют ли такие натуральные x и y, что  x⁴ – y⁴ = x³ + y³?

   Решение

---

Известно, что квадратные уравнения  ax² + bx + c = 0  и  bx² + cx + a = 0  (a, b и c – отличные от нуля числа) имеют общий корень.
Найдите его.

   Решение

---

На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной 5 клеток. Его требуется разбить на 5 частей одинаковой площади, проводя отрезки внутри квадрата только по линиям сетки. Может ли оказаться так, что суммарная длина проведенных отрезков не превосходит 16 клеток?

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что BCD = 80^o , ACB = 50^o и ABD = 30^o . Найдите угол ADB .

   Решение

---

Дан угол с вершиной O и окружность, касающаяся его сторон в точках A и B. Луч с началом в точке A, параллельный OB, пересекает окружность в точке C. Отрезок OC пересекает окружность в точке E. Прямые AE и OB пересекаются в точке K. Докажите, что OK = KB.

   Решение

---

Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов  x² + ax + b,  x² + cx + d,  x² + ex + f  не имеет корней.
Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?

   Решение

---

Вписанные окружности граней SBC , SAC и SAB треугольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы , и соответственно. Точка K является точкой касания окружностей со стороной SA , причём SK=7 . Найдите длину отрезка AK , периметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC .

   Решение

---

Дан квадратный трёхчлен  f(x) = x² + ax + b.  Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что   f(y) = f(x) + y.  Найдите наибольшее возможное значение a.

   Решение

---

Для заданных значений a, b, c и d оказалось, что графики функций    и    имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций    и    также имеют ровно одну общую точку.

   Решение

---

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

   Решение

---

В треугольной пирамиде ABCD рёбра AC и BD взаимно перпендикулярны, AB=BD=AD=a , середина ребра AC равноудалена от плоскостей ABD и BCD , угол между ребром AC и гранью CBD равен arcsin . Найдите ребро CD , угол CAD и угол между ребром BD и гранью ACD .

   Решение

---

На рисунке изображены графики трёх квадратных трёчленов.
Можно ли подобрать такие числа a, b и c, чтобы это были графики трёхчленов  ax² + bx + c,  bx² + cx + a  и  cx² + ax + b?

   Решение

---

На оси Ox произвольно расположены различные точки  X₁, ..., X_n,  n ≥ 3.  Построены все параболы, задаваемые приведёнными квадратными трёхчленами и пересекающие ось Ox в данных точках (и не пересекающие ееё в других точках). Пусть  y = f₁(x),  ...,  y = f_m(x)  – соответствующие параболы. Докажите, что парабола  y = f₁(x) + ... + f_m(x)  пересекает ось Ox в двух точках.

   Решение

---

Один градус шкалы Цельсия равен 1,8 градусов шкалы Фаренгейта, при этом 0° по Цельсию соответствует 32° по шкале Фаренгейта.
Может ли температура выражаться одинаковым числом градусов как по Цельсию, так и по Фаренгейту?

   Решение

---

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что  S_KMC + S_KAC = S_ABC.
Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.

   Решение

---

На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции

y= sin x, x(0;α).
Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α(;π) ; б) α(0;) ?

   Решение

---

На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A₁, B₁, другая – в точках A₂ , B₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.

   Решение

---

Для некоторых натуральных чисел a, b, c и d выполняются равенства  ^a/_c = ^b/_d = ^ab+1/_cd+1.  Докажите, что  a = c  и  b = d.

   Решение

---

В классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?

   Решение

---

На плоскости нарисовали кривые  y = cos x  и  x = 100 cos(100y)  и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть a – сумма абсцисс, а b – сумма ординат этих точек. Найдите  ^a/_b.

   Решение

---

Дан треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.

   Решение

---

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 158]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57957

Темы:   [ Композиции поворотов ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98372

Темы:   [ Произвольные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Движения (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Верны ли утверждения:
  а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
  в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111909

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Ломаные ] [ Произвольные многоугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника (например, как на рис.). Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116904

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53477

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Композиция центральных симметрий ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

С помощью циркуля и линейки постройте пятиугольник по серединам его сторон.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 158]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями