AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.

   Решение

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

   Решение

В стране Древляндия 101 город, и некоторые из них соединены дорогами. При этом каждые два города соединяет ровно один путь.
Сколько в этой стране дорог?

   Решение

Стороны треугольника ABC касаются вписанной окружности в точках K, P и M, причём точка M расположена на стороне BC. Найдите угол KMP, если  ∠A = 2α.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центру его описанной окружности и двум прямым, на которых лежат высоты треугольника.

   Решение

В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что
  а) число членов чётно.
  б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.

   Решение

Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,

   Решение

p простых чисел a₁, a₂, ..., a_p образуют возрастающую арифметическую прогрессию и  a₁ > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

   Решение

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

   Решение

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

   Решение

AB и AC — две хорды, образующие угол BAC, равный 70^o. Через точки B и C проведены касательные до пересечения в точке M. Найдите BMC.

   Решение

Окружность вписана в треугольник со сторонами, равными a, b и c. Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную a.

   Решение

Доказать, что сумма цифр числа, являющегося точным квадратом, не может равняться 5.

   Решение

Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную заданному отрезку.

   Решение

На доске написаны две суммы:

1 + 22 + 333 + 4444 + 55555 + 666666 +7777777 + 88888888 + 999999999
9 + 98 + 987 + 9876 + 98765 + 987654 + 9876543 + 98765432 + 987654321

Определите, какая из них больше (или они равны).

   Решение

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AC и дугой BC некоторой окружности. Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам её площадь.

   Решение

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X, M и N – её проекции на катеты AC и BC.
  а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
  б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника CMXN будет наибольшей?

   Решение

Докажите, что  a² + b² + c² - (a - b)² - (b - c)² - (c - a)² 4S.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.

   Решение

Диагонали вписанно-описанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Даны три отрезка, равные $AL$, $BL$, $CL$. Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.

   Решение

На боковой стороне BC равнобедренного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке D. Найдите расстояние от вершины A до центра окружности, если  AD =   и  ∠ABC = 120°.

   Решение

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. На сторонах $AD$ и $CD$ взяты точки $E$ и $F$ так, что $AE=BC$ и $AB=CF$. Пусть $M$ – середина $EF$. Докажите, что угол $AMC$ прямой.

   Решение

Доказать, что в двудольном плоском графе  E ≥ 2F,  если  E ≥ 2  (E – число рёбер, F – число областей).

   Решение

Доказать, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... нет точных квадратов.

   Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 598]      

На доске было написано несколько натуральных чисел, причём разность любых двух соседних чисел равна одному и тому же числу. Коля заменил в этой записи разные цифры разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буквами. Восстановите исходные числа, если на доске написано Т, ЕЛ, ЕК, ЛА, СС.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Прислать комментарий

Решение

Имеется бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами. Доказать, что найдётся член, в котором есть 100 девяток подряд.

Прислать комментарий

Решение

Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1986?

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... нет точных квадратов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 598]