Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Комбинаторная геометрия
>>
Системы точек и отрезков
>>
Системы точек и отрезков (прочее)
Фильтр
Выбрано 30 задач Убрать все задачи
Найти все равнобочные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.
Дан четырёхугольник; A, B, C, D — последовательные середины его сторон, P, Q — середины диагоналей. Доказать, что треугольник BCP равен треугольнику ADQ.
Существует ли выпуклый четырёхугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?
Угол между сторонами AB и CD четырехугольника ABCD
равен . Докажите, что
AD2 = AB2 + BC2 + CD2 - 2(AB . BC cos B + BC . CD cos C + CD . AB cos
).
Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X
лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите,
что длины всех касательных, проведенных из точки X к окружностям,
равны.
Существует ли такой четырёхугольник, что любая диагональ делит его на два тупоугольных треугольника?
Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC
пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.
Пусть a и b — длины катетов прямоугольного
треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:
а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;
б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов,
равен (a + b + c)/2.
В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол в 20o. На какие четыре части делится вершинами этого прямоугольника описанная около него окружность?
Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.
В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны,
причем лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая,
соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.
Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса 8.
Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.
В трёх ящиках лежат орехи. В первом ящике на 6 кг орехов меньше, чем в двух других вместе. А во втором – на 10 кг меньше, чем в двух других вместе. Сколько орехов в третьем ящике?
Напишите в строчку первые 10 простых чисел. Как вычеркнуть 6 цифр, чтобы получилось наибольшее возможное число?
Продолжите последовательность: 2, 6, 12, 20, 30, …
Решите систему уравнений
5732x + 2134y + 2134z = 7866,
2134x + 5732y + 2134z = 670,
2134x + 2134y + 5732z=11464.
Можно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел - положительной?
Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?
Решите систему уравнений
x + y + u = 4,
y + u + v = –5,
u + v + x = 0,
v + x + y = –8.
Решить систему пятнадцати уравнений с пятнадцатью неизвестными: x1x2 = x2x3 = ... = x14x15 = x15x1 = 1.
Существует ли треугольник, у которого все высоты
меньше 1 см, а площадь больше 1
м2?
Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена
медиана BM. На ней взята точка D. Докажите равенство треугольников:
а) ABD и CBD;
б) AMD и CMD.
Расположите на плоскости шесть прямых и отметьте на них семь точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено три точки.
На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает две остальные (возможно, в концах)?
В плоскости отмечена 101 точка, не все они лежат на одной прямой. Через каждую пару отмеченных точек красным карандашом проводится прямая. Докажите, что на плоскости существует точка, через которую проходит не меньше 11 красных прямых.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
На плоскости нарисовано несколько точек. Докажите, что можно провести прямую так, чтобы расстояния от всех точек до неё были различными.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]
Задача 32135 |
|
|
В плоскости отмечена 101 точка, не все они лежат на одной прямой. Через каждую пару отмеченных точек красным карандашом проводится прямая. Докажите, что на плоскости существует точка, через которую проходит не меньше 11 красных прямых.
|
|
Решение |
Задача 35056 |
|
|
На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.
|
|
Решение |
Задача 35586 |
|
|
На плоскости нарисовано несколько точек. Докажите, что можно провести прямую так, чтобы расстояния от всех точек до неё были различными.
|
|
|
Решение |
Задача 64515 |
|
|
На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.
|
|
|
Решение |
Задача 64556 |
|
|
На окружности отмечено 20 точек. Сколько существует таких троек хорд с концами в этих точках, что каждая хорда пересекает две остальные (возможно, в концах)?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]
