Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите это.

Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.

   Решение

Общие внешние касательные к парам окружностей S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₁ пересекаются в точках A, B и C соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

   Решение

Какое слагаемое в разложении  (1 + )¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и D.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по четырём точкам, лежащим на четырёх его сторонах.

   Решение

С помощью циркуля и линейки проведите прямую, параллельную основаниям трапеции, так, чтобы отрезок этой прямой внутри трапеции делился бы диагоналями на три равные части.

   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

Пусть A₁, B₁,..., F₁ — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A₁C₁E₁ и B₁D₁F₁ совпадают.

   Решение

n отрезков A₁ B₁ , A₂ B₂ , ... , A_n B_n (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A₁ , A₂ , ... , A_n . Докажите, что

++...+=n.

   Решение

Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).

   Решение

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

   Решение

Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник. Докажите, что если периметр треугольника ABD меньше периметра треугольника ACD, то AB < AC.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что BAC = 75^o, AB = 1, AC = . На стороне BC выбрана точка M, причём BAM = 30^o. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle B=\angle D$. Докажите, что середина диагонали $BD$ лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники $ABC$ и $ACD$.

Прислать комментарий

Решение

Пусть  = /7. Докажите, что  = + .

Прислать комментарий

Решение

Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей b₁ и b₂ касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей c₁ и c₂ касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите, что 8 точек, в которых окружности b₁ , b₂ пересекают c₁ , c₂ , лежат на двух окружностях, отличных от b₁ , b₂ , c₁ , c₂ . (Некоторые из этих окружностей могут выродиться в прямые.)

Прислать комментарий

Решение

Гипотенуза прямоугольного треугольника служит стороной квадрата, расположенного вне треугольника.
Найдите расстояние между вершиной прямого угла треугольника и центром квадрата, если катеты треугольника равны a и b.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC известно, что BAC = 75^o, AB = 1, AC = . На стороне BC выбрана точка M, причём BAM = 30^o. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]