Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

Вниз   Решение


Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность, если известно, что хорда этой окружности, равная 2, удалена от её центра на расстояние, равное 3.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при   a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство

ВверхВниз   Решение


Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

ВверхВниз   Решение


В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

ВверхВниз   Решение


Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найдите стороны треугольника AED, если  AB = 3,  BC = 10,  CD = 4,  AD = 12.

ВверхВниз   Решение


Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

ВверхВниз   Решение


С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

ВверхВниз   Решение


Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что  NO ≤ 2MO.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике АВС проведены медиана АМ, биссектриса AL и высота AH.
Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника АВС, если  AL = t,  AH = h  и L – середина отрезка MH.

ВверхВниз   Решение


В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть  BC = DE.  Докажите, что  AB = EF.

ВверхВниз   Решение


Длины двух параллельных хорд окружности равны 40 и 48, расстояние между ними равно 22. Найдите радиус окружности.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 401]      



Задача 54226

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные a и b.
Найдите основание треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 77941

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что если ортоцентр делит высоты треугольника в одном и том же отношении, то этот треугольник — правильный.
Прислать комментарий     Решение


Задача 52902

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Теорема синусов ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Длины двух параллельных хорд окружности равны 40 и 48, расстояние между ними равно 22. Найдите радиус окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55384

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC поведены медианы AA1 и BB1. Докажите, что если  ∠CAA1 = ∠CBB1,  то  AC = BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64432

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что  АВ = 16,  ВС = 12.  Найдите EF.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 401]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .