Каталог по темам

Выбрано 10 задач

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD – описанный;
б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.

Решение

Автор: Толпыго А.К.

Дана трапеция ABCD, M – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника DCM, если радиус этой окружности равен r.

Решение

Авторы: Белухов Н., Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что IM : AB = IN : CD.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

Решение

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I₁, I₂ и r, r₁, r₂ -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁, S₂; $\varphi$ = $\angle$ ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причём I₁I : II₂ = tg² ${\frac{\varphi }{2}}$ . Докажите также, что r = r₁cos² ${\frac{\varphi }{2}}$ + r₂sin² ${\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).

Решение

Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC равна ${\frac{2bc}{b+c}}$ cos ${\frac{\alpha }{2}}$ .

Решение

Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) ${\frac{OA_1}{AA_1}}$ + ${\frac{OB_1}{BB_1}}$ + ${\frac{OC_1}{CC_1}}$ = 1;
б) ${\frac{AC_1}{C_1B}}$ ^. ${\frac{BA_1}{A_1C}}$ ^. ${\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.

Решение

Даны (2n - 1)-угольник A₁...A_{2n - 1} и точка O. Прямые A_kO и A_{n + k - 1}A_{n + k} пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений A_{n + k - 1}B_k/A_{n + k}B_k(k = 1,..., n) равно 1.

Решение

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Решение

Даны два одинаковых пересекающихся круга. Отношение расстояния между их центрами к радиусу равно 2m . Третий круг касается внешним образом первых двух и их общей касательной. Найдите отношение площади общей части первых двух кругов к площади третьего круга.

Решение

Задача 55216

Задача 102206

Задача 102208

Задача 35527

Задача 53294