Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

Вниз   Решение


Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведённой из вершины прямого угла.

ВверхВниз   Решение


С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.

ВверхВниз   Решение



Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.

ВверхВниз   Решение



Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60o. Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объем пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

ВверхВниз   Решение


Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.

ВверхВниз   Решение


Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.

ВверхВниз   Решение


Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB .

ВверхВниз   Решение


Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      



Задача 58392

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az$\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.
Прислать комментарий     Решение

Задача 116408

Темы:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Построения одним циркулем ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
  а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
  б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64969

Темы:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
[ Шестиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56578

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58393

Тема:   [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Пусть $ \varepsilon$ = $ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $ \varepsilon^{2}_{}$b + $ \varepsilon^{4}_{}$c = 0 или a + $ \varepsilon^{4}_{}$b + $ \varepsilon^{2}_{}$c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .