Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Построения >> Окружность Аполлония
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 22 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Треугольники ACC1 и BCC1 равны. Их вершины A и B лежат по разные стороны от прямой CC1.
Докажите, что треугольники ABC и ABC1 – равнобедренные.

Вниз   Решение

Автор: Дворянинов С.

На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки?

ВверхВниз   Решение

Автор: Конягин С.В.

Можно ли разбить множество целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого значения n числа n, n - 50, n + 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

a'(b - c) + b'(c - a) + c'(a - b) = 0.


ВверхВниз   Решение

Пусть A — произвольный угол, B и C — острые углы. Всегда ли существует такой угол X, что

sin X = $\displaystyle {\frac{\sin B\sin C}{1-\cos A\cos B\cos C}}$?

(Из `` Воображаемой геометрии'' Н. И. Лобачевского).

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

На одной из медиан треугольника ABC нашлась такая точка P, что ∠PAB=∠PBC=∠PCA. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка Q, что ∠QBA=∠QCB=∠QAC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Колосов В.

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, π/2).  Докажите неравенство  

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.
Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

ВверхВниз   Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых  a + b  лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества действительных чисел.

ВверхВниз   Решение

С помощью одного циркуля постройте окружность, проходящую через три данные точки.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что прямая, проходящая через точки a1 и a2, задаётся уравнением

z($\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(a1 - a2) + (a1$\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$a2) = 0.


ВверхВниз   Решение

Пусть $ \angle$A < $ \angle$B < $ \angle$C < 90o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

ВверхВниз   Решение

Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид ab + ba (где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 25 + 52. Является ли изумительным число 2006?

ВверхВниз   Решение

С помощью одного циркуля постройте окружность, в которую переходит данная прямая AB при инверсии относительно данной окружности с данным центром O.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

ВверхВниз   Решение

Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке M1, а вторую в точке M2. Докажите, что  $ \angle$BO1M1 = $ \angle$BO2M2.

ВверхВниз   Решение

Пусть a и b — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле, u — точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b. Докажите, что u = 2ab/(a + b).

ВверхВниз   Решение

Пусть  f(x) – многочлен степени m. Докажите, что если  m < n,  то  Δnf(x) = 0.  Чему равна величина Δmf(x)?

ВверхВниз   Решение

В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.

ВверхВниз   Решение

Автор: Власова Н.

По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

ВверхВниз   Решение

Не используя калькулятора, определите знак числа  (cos(cos 1) – cos 1)(sin(sin 1) – sin 1).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что все корни уравнения  a(z – b)n = c(z – d )n, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

  с решениями  

Задача 64740

Темы:   [ Окружность Аполлония ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Белухов Н.

В треугольнике ABC  ALa и AMa – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa – окружность, симметричная описанной окружности Ωa треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Докажите, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 36996

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Окружность Аполлония ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Гомотетия (ГМТ) ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116188

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Окружность Аполлония ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

В окружность вписан треугольник ABC. Постройте такую точку P, что точки пересечения прямых AP, BP и CP с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61144

Темы:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]
[ Геометрия комплексной плоскости ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что все корни уравнения  a(z – b)n = c(z – d )n, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65938

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Построения одной линейкой ]
[ Окружность Аполлония ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .