Версия для печати
Убрать все задачи

---

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
  а)  (1 + x + ... + x⁹)³(1 + x^–1 + ... + x^–9)³ = x²⁷ + ... + a₁x + N + a₁x + ... + x^–27;
  б)  (1 + x + ... + x⁹)⁶ = 1 + ... + Nx²⁷ + ... + x⁵⁴.
  в) Найдите число счастливых билетов.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61498

Темы:   [ Производящие функции ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
  а)  (1 + x + ... + x⁹)³(1 + x^–1 + ... + x^–9)³ = x²⁷ + ... + a₁x + N + a₁x + ... + x^–27;
  б)  (1 + x + ... + x⁹)⁶ = 1 + ... + Nx²⁷ + ... + x⁵⁴.
  в) Найдите число счастливых билетов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61502

Темы:   [ Производящие функции ] [ Числа Фибоначчи ] [ Рациональные функции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76536

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Производящие функции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Определить коэффициенты, которые будут стоять при x¹⁷ и x¹⁸ после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98380

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Производящие функции ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится?
б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61497

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Производящие функции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а)     б)  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями