Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Касательные прямые и касающиеся окружности
>>
Прямые, касающиеся окружностей
Подтемы:
- Признаки и свойства касательной (175 задач)
- Окружность, вписанная в угол (78 задач)
- Две касательные, проведенные из одной точки (285 задач)
- Общая касательная к двум окружностям (115 задач)
- Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть (149 задач)
- Прямые, касающиеся окружностей (прочее) (14 задач)
Фильтр
Выбрано 18 задач Убрать все задачи
На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что a = b.
В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
а) В трёхзначном числе зачеркнули первую цифру слева, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили исходное трёхзначное число. Найдите такое число.
б) В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру и получили число в 6 раз меньше исходного. Найдите такое трёхзначное число.
На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном
порядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под
равными углами.
Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA, со стороной AC, если
а) AB = 5, BC = 7, CD = DA;
б) AB = 7, BC = CD, DA = 9.
На стороне BC равностороннего треугольника ABC взята точка M, а на продолжении стороны AC за точку C – точка N, причём AM = MN.
Докажите, что BM = CN.
12 команд сыграли турнир по волейболу в один круг. Две команды одержали ровно по 7 побед.
Доказать, что найдутся такие команды А, В, С, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С – у А.
Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.
Доказать, что среди 18 последовательных трёхзначных чисел найдётся хотя бы одно, которое делится на сумму своих цифр.
Докажите, что
а)
S3 (
/4)3(abc)2;
б)
3hahbhc 43
3rarbrc.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.
Найдите первые 99 знаков после запятой в разложении числа .
На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что AB1 : B1C = cn : an, BC1 : C1A = an : bn и CA1 : A1B = bn : cn (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A1B1C1 высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что
Докажите, что если α < β и αβ ≠ 0, то Sα(x) ≤ Sβ(x).
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A1, B1 и C1. Пусть a = SAB1C1, b = SA1BC1, c = SA1B1C и u = SA1B1C1. Докажите, что
В равносторонний треугольник со стороной a вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что её отрезок внутри треугольника равен b. Найдите площадь треугольника, отсеченного этой касательной.
В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть BC = DE. Докажите, что AB = EF.
Задачи Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 772]
Задача 54792 |
|
|
На стороне треугольника взяты четыре точки K, P, H и M, являющиеся соответственно серединой этой стороны, основанием биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите KH, если KP = a, KM = b.
|
|
Решение |
Задача 56896 |
|
|
Окружность S1 вписана в угол A треугольника ABC; окружность S2 вписана в угол B и касается S1 (внешним образом); окружность S3 вписана в угол C и касается S2; окружность S4 вписана в угол A и касается S3 и т. д. Докажите, что окружность S7 совпадает с S1.
|
|
|
Решение |
Задача 64980 |
|
|
В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть BC = DE. Докажите, что AB = EF.
|
|
Решение |
Задача 66648 |
|
|
Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.
|
|
|
Решение |
Задача 108243 |
|
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D – точка пересечения прямых B1C1 и A1K. Докажите, что CD = CB1.
|
|
|
Решение |
Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 772]
